Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng nhưng mà những em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài bác tập dượt về căn thức cũng thông thường xuyên xuất hiện tại nhập đề đua tuyển chọn sinh nhập lớp 10 trung học phổ thông.

Có nhiều loại bài bác tập dượt về căn thức như: rút gọn gàng biểu thức, tính độ quý hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, nhập nội dung bài viết này tất cả chúng ta triệu tập lần hiểu cơ hội giải phương trình chứa chấp vệt căn, thông qua đó áp dụng giải một trong những bài bác tập dượt về phương trình chứa chấp căn thức nhằm tập luyện khả năng giải toán.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

I. Kiến thức chú ý Lúc giải phương trình chứa chấp vệt căn

• $small A^{2}=B^2Leftrightarrow A=pm B$

• small sqrt{A}+sqrt{B}=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix}
ight.

• small sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0: (hay: Bgeq 0) A= B end{matrix}
ight.

• $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^2 end{matrix} ight.$

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0 A=B end{matrix}
ight.: hay: left{egin{matrix} A< 0 A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B: hay: A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=left | B
ight |Leftrightarrow A=B: hay: A=-B

• small left | A
ight |+left | B
ight |=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix}
ight.

• $small sqrt{A^2}=BLeftrightarrow left | A ight |=B$

• small left | A
ight |=left{egin{matrix} A,: Lúc : Ageq 0 -A,: khi: A< 0 end{matrix}
ight.

• small sqrt{A.B}=sqrt{A}.sqrt{B}, : (Ageq 0,Bgeq 0)

• $small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}, : (Ageq 0,B> 0)$

II. Cách giải Phương trình đem chứa chấp vệt căn

1. Giải phương trình chứa chấp căn thức dạng: small sqrt{f(x)}=e với e ≥ 0 là hằng số

i) Trường hợp: small f(x)=ax+b hoặc $small f(x)=frac{ax+b}{cx+d}$ thì:

+ Cách 1: Tìm ĐK của x nhằm f(x) ≥ 0

+ Cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.

+ Cách 3: Giải phương trình nhằm lần nghiệm x vừa lòng điều kiện

* Ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) small sqrt{16x}=8 b) small sqrt{4x}=sqrt{5}

c) small sqrt{9(x-1)}=21 d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$

° Lời giải:

a) small sqrt{16x}=8 (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, Lúc cơ bình phương 2 vế tao có:

small (*)Leftrightarrow 16x=8^2Leftrightarrow 16x=64Leftrightarrow x=4

- Ta thấy x = 4 thỏa ĐK nên pt đem nghiệm x = 4.

b) small sqrt{4x}=sqrt{5} (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, Lúc cơ bình phương 2 vế tao có:

$small (*)Leftrightarrow 4x=5Leftrightarrow x=frac{5}{4}$

- Ta thấy x = 5/4 thỏa ĐK nên pt đem nghiệm x = 5/4.

c) small sqrt{9(x-1)}=21 (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; Lúc cơ tao đem (ở bày này tao hoàn toàn có thể rút gọn gàng thông số trước lúc bình phương 2 vế):

small (*)Leftrightarrow sqrt{9}.sqrt{(x-1)}=21Leftrightarrow 3sqrt{x-1}=21

$small Leftrightarrow sqrt{x-1}=7Leftrightarrow (x-1)=7^2$ small Leftrightarrow x-1=49Leftrightarrow x=50

- Ta thấy x = 50 thỏa ĐK nên pt đem nghiệm x = 50.

d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$ (*)

- Vì (1 - x)² ≥ 0 ∀x nên pt xác lập với từng độ quý hiếm của x.

$small (*)Leftrightarrow sqrt{4(1-x)^2}=6Leftrightarrow 2left | 1-x ight |=6Leftrightarrow left | 1-x ight |=3$

small Leftrightarrow left [egin{matrix} 1-x=3 1-x=-3 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left [egin{matrix} x=-2 x=4 end{matrix}
ight.

→ Vậy phương trình đem 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$

° Lời giải:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ (*)

- Điều kiện: $small frac{2x-3}{x-1}geq 0Leftrightarrow x<1: hoặc : xgeq frac{3}{2}$

- Khi cơ bình phương 2 vế tao được:

$small frac{2x-3}{x-1}=4Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

- Đối chiếu ĐK (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) tao thấy x = 50% thỏa ĐK, nên tao nhận nghiệm này. Kết luận pt đem nghiệm x = 50%.

b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$ (*)

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} 2x-3\geq 0\\ 2x-1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{3}{2}\\ x>\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq \frac{3}{2}$

- Khi cơ bình phương 2 vế tao được:

$small (*)Leftrightarrow frac{2x-3}{x-1}=4 Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

- Đối chiếu ĐK (x ≥ 3/2) ta thấy x = 50% ko thỏa ĐK này, nên tao KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) Trường hợp: small f(x)=ax^2+bx+c (*) thì tao cần thiết đánh giá biểu thức f(x).

+) Nếu f(x) = ax² + bx + c = (Ax ± B)² tức là đem dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

$\small \sqrt{f(x)}=e\Leftrightarrow \sqrt{(Ax\pm B)^2}=e$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} Ax\pm B=e\\ Ax\pm B=-e \end{matrix} \right.\Rightarrow x=?$

+) Nếu small f(x)=ax^2+bx+c không đem dạng hằng đẳng thức thì tao triển khai công việc sau:

- Cách 1: Điều khiếu nại f(x) ≥ 0

- Cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn thức

- Cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cơ hội phân tách trở thành nhân tử trả về pt tích).

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $dpi{100} fn_cm small sqrt{2x^2-8x+8}=3sqrt{2}$ (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x² - 8x + 8 = 2(x² - 4x + 4) = 2(x - 2)² nên tao có:

$small (*) Leftrightarrow sqrt{2(x-2)^2}=3sqrt{2} Leftrightarrow sqrt{2}.sqrt{(x-2)^2}=3sqrt{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-2)^2}=3Leftrightarrow left | x-2 ight |=3$ small Leftrightarrow left [egin{matrix} x-2=3 x-2=-3 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=5 x=-1 end{matrix}
ight.

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-4x+6}=sqrt{11}$ (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x² - 4x + 6 = x² - 4x + 4 + 2 = (x - 2)² + 2 không tồn tại dạng (Ax ± B)² nên tao triển khai như sau:

- Điều kiện: x² - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)² + 2 ≥ 0 ∀x nên biểu thức xác lập với từng độ quý hiếm của x.

- Bình phương 2 vế phương trình tao được:

(x - 2)² + 2 = 11 ⇔ (x - 2)²= 9 small Leftrightarrow left [egin{matrix} x-2=3 x-2=-3 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=5 x=-1 end{matrix}
ight.

- Kết luận: Phương trình đem 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình chứa chấp vệt căn dạng: small sqrt{f(x)}=g(x)

* Phương pháp giải:

- Cách 1: Viết ĐK của phương trình: small left{egin{matrix} f(x)geq 0 g(x)geq 0 end{matrix}
ight.

- Cách 2: Nhận dạng từng loại ứng với những cơ hội giải sau:

¤ Loại 1: Nếu f(x) đem dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² thì khai căn trả về phương trình trị vô cùng nhằm giải.

¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C [không đem dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)²] và g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì demo phân tách f(x) và g(x) trở thành nhân tử, nếu như bọn chúng đem nhân tử cộng đồng thì bịa đặt nhân tử cộng đồng trả về phương trình tích.

- Cách 3: Kiểm tra nghiệm tìm ra đem vừa lòng ĐK ko tiếp sau đó tóm lại nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-5)^2}=3-xLeftrightarrow left | x-5 ight |=3-x$

small Leftrightarrowleft [egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-5=3-x end{matrix}
ight. left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-5=-(3-x )end{matrix}
ight. end{matrix}
ight. Leftrightarrowleft [egin{matrix} left{egin{matrix} x leq 3 x=4 end{matrix}
ight. left{egin{matrix} x leq 3 -2=0 end{matrix}
ight. end{matrix}
ight.

- Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$ (*)

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$

small Leftrightarrow left [egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-3=3-x end{matrix}
ight. egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-3=-(3-x) end{matrix}
ight. end{matrix} end{matrix}
ight. left [egin{matrix} left{egin{matrix} xleq 3 x=3 end{matrix}
ight. egin{matrix} left{egin{matrix} xleq 3 0.x=0 end{matrix}
ight. end{matrix} end{matrix}
ight.Leftrightarrow xleq 3

- Vậy phương trình đem vô số nghiệm x ≤ 3.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau: small sqrt{2x-3}=x-1

° Lời giải:

- Điều kiện: $small left{egin{matrix} 2x-3geq 0 x-1geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeqfrac{3}{2} xgeq 1 end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq frac{3}{2}$

- Bình phương 2 vế tao được:

Xem thêm: Giải đáp nối mi hết bao nhiêu tiền? Bảng giá các loại mi nối

2x - 3 = (x - 1)² ⇔ 2x - 3 = x² - 2x + 1

⇔ x² - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)² = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với ĐK tao thấy x = 2 thỏa ĐK nên phương trình nhận nghiệm này.

- Phương trình đem nghiệm x = 2.

* Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-5x-6}=x-2$ (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x² - 5x - 6 không tồn tại dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² (và vế cần là dạng hàm bậc 1) nên nhằm khử căn tao sử dụng cách thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: $small left{egin{matrix} x^2-5x-6geq0 x-2geq0 end{matrix} ight.$ khi cơ tao bình phương 2 vế được:

small (*)Leftrightarrow x^2-5x-6=(x-2)^2

small Leftrightarrow x^2-5x-6=x^2-4x+4Leftrightarrow x = -10

- Kiểm tra x = -10 đem vừa lòng ĐK ko bằng phương pháp thay cho độ quý hiếm này nhập những biểu thức ĐK thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa chấp vệt căn dạng: $small sqrt{[f(x)]^2}pm sqrt{[h(x)]^2}=g(x)$

* Để giải phương trình dạng này tao triển khai công việc sau:

- Cách 1: Nếu f(x) và h(x) đem chứa chấp căn thì cần đem ĐK biểu thức nhập căn ≥ 0.

- Cách 2: Khử căn thức trả phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- Cách 3: Xét vệt trị vô cùng (khử trị tuyệt đối) nhằm giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình: small sqrt{x+4-4sqrt{x}}-sqrt{x+9-6sqrt{x}}=1 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- Mặt không giống, tao thấy: $small {x+4-4sqrt{x}}=(sqrt{x}-2)^2$ và $small {x+9-6sqrt{x}}=(sqrt{x}-3)^2$ nên tao có:

small (*)Leftrightarrow left | sqrt{x}-2
ight |-left | sqrt{x}-3
ight |=1 (**)

- Ta xét những tình huống nhằm đập phá vệt trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2geq 0 sqrt{x}-3geq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow sqrt{x}geq 3Leftrightarrow xgeq 9 , tao có:

small (**)Leftrightarrow sqrt{x}-2-sqrt{x}+3=1Leftrightarrow 0.sqrt{x}=0

⇒ Phương trình đem vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2geq 0 sqrt{x}-3< 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq 4 x< 9 end{matrix}
ight.Leftrightarrow 4leq x< 9 , tao có:

small (**)Leftrightarrow left ( sqrt{x}-2
ight )-(3-sqrt{x})Leftrightarrow 2sqrt{x}=6Leftrightarrow x=9

- Đối chiếu ĐK tao thấy x = 9 ko thỏa đk nên loại.

+) TH3: Nếu small small left{egin{matrix} sqrt{x}-2< 0 sqrt{x}-3geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x< 4 xgeq 9 end{matrix}
ight.Leftrightarrow van nài varnothing

+) TH4: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2< 0 sqrt{x}-3< 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x< 4 x< 9 end{matrix}
ight.Leftrightarrow x< 4 , tao có:

small (**)Leftrightarrow (2-sqrt{x})-(3-sqrt{x})=1Leftrightarrow 0.sqrt{x}=2

→ Phương trình vô nghiệm.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình đem vô số nghiệm x ≥ 9.

* Ví dụ 2: Giải phương trình: small sqrt{x+3-4sqrt{x-1}}+sqrt{x+8-6sqrt{x-1}}=4

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- Nhận thấy: $small x+3-4sqrt{x-1}=(x-1)-4sqrt{x-1}+4=(sqrt{x-1}-2)^2$

$small x+8-6sqrt{x-1}=(x-1)-6sqrt{x-1}+9=(sqrt{x-1}-3)^2$

- Đến phía trên xét những tình huống giải tương tự động ví dụ 1 phía trên.

4. Cách giải một trong những phương trình chứa chấp căn không giống.

i) Phương pháp bịa đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình chứa chấp vệt căn.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: small x-3sqrt{x}+2=0 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

Đặt $small sqrt{x}=t,: (tgeq 0)Rightarrow x=t^2$ khi cơ tao đem pt (*) trở thành:

$small t^{2}-3t+2=0Leftrightarrow (t-1)(t-2)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=1 t=2 end{matrix} ight.$

- Cả 2 nghiệm t đều thỏa ĐK nên tao có:

small t=1 Rightarrow sqrt{x}=1Rightarrow x=1

small t=2 Rightarrow sqrt{x}=2Rightarrow x=4

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em tiếp tục học tập ở nội dung bài bác chương sau).

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: small sqrt{x-2}+sqrt{x+3}=5 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: small left{egin{matrix} x-2geq 0 x+3geq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow xgeq 2

Đặt $small sqrt{x-2}=t,(tgeq 0)Rightarrow x-2=t^{2}Rightarrow x=t^2+2$ , Lúc cơ pt(*) trở thành:

$small t+sqrt{t^{2}+5}=5 Leftrightarrow sqrt{t^{2}+5}=5-t,: (**)$

- Ta thấy pt(**) đem dạng ở mục 2) loại 3; với ĐK 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; tao bình phương 2 vế (**) được:

t² + 5 = (5 - t)² ⇔ t² + 5 = t² - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- Với t = 2 thỏa ĐK 0≤ t ≤ 5 nên tao có:

small sqrt{x-2}=2Leftrightarrow x-2=4Leftrightarrow x=6

→ Phương trình đem nghiệm x = 6.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau: $\small x^2-2x+3\sqrt{x^2-2x-3}=13$ (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x² - 2x - 3 ≥ 0. Khi cơ tao có:

Đặt $small sqrt{x^2-2x-3}=t,: (tgeq 0)Rightarrow t^{2}=x^2-2x-3$ khi cơ pt(**) trở thành:

$small t^2+3t-10=0Leftrightarrow (t-2)(t+5)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=2 t=-5 end{matrix} ight.$

- Đối chiếu ĐK thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

Với t = 2 ⇒ x² - 2x - 3 = 4 ⇔ x² - 2x - 7 = 0 ⇔ (x² - 2x + 1) - 8 = 0.

$small Leftrightarrow (x-1)^2=8Leftrightarrow left [egin{matrix} x-1=2sqrt{2} x-1=-2sqrt{2} end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=1+2sqrt{2} x=1-2sqrt{2} end{matrix} ight.$

- Kiểm tra thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa ĐK nên pt đem 2 nghiệm. x = 1 ± 2√2.

ii) cách thức Đánh Giá biểu thức bên dưới vệt căn (lớn rộng lớn hoặc nhỏ rộng lớn 1 hằng số) nhằm giải phương trình chứa chấp căn thức.

- sít dụng với phương trình chứa chấp căn thức dạng: $small sqrt{[f(x)]^2+c}+sqrt{[h(x)]^2+d}=pm [g(x)]^2+e$ (với c,d>0 và c+d=e)

- PT hoàn toàn có thể cho tới ngay lập tức dạng này hoặc hoàn toàn có thể tách một thông số nào là cơ để sở hữu [f(x)]²; [h(x)]² hay [g(x)]²;

* Ví dụ: Giải phương trình sau: $small sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^4-10x^2+30}=8$ (*)

° Lời giải:

- Ta nhận thấy:

small 3x^2+6x+12=3(x^2+2x+1)+9=3(x+1)^2+9geq 9

$small Rightarrow sqrt{3(x+1)^2+9}geq 3$

small 5x^4-10x^2+30=5(x^4-2x^2+1)+25=5(x^2-1)^2+25geq 25

$small Rightarrow sqrt{5(x^2-1)^2+25}geq 5$

- Do đó: $sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^2-10x+30}geq 8$ dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ khi:

$small left{egin{matrix} sqrt{3x^2+6x+12}=3 sqrt{5x^4+6x^2+12}=5 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 3(x+1)^2+9=9 5(x^2-1)^2+25=25 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x+1=0 x^2-1=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow x=-1$