[Vted.vn] - Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài viết lách này Vted trình diễn và reviews cho tới độc giả Công thức tính thể tích của một khối chóp cụt và một trong những ví dụ minh hoạ. Công thức này được cho phép tính thể tích một trong những khối nhiều diện cường độ áp dụng, áp dụng cao.

Hình chóp cụt

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.$ Một mặt mày bằng phẳng ko trải qua $S$ và tuy vậy song với mặt mày bằng phẳng lòng, hạn chế những cạnh $S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ ứng bên trên ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{n}}.$

+ Hình bao gồm những nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ và những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là 1 trong hình chóp cụt, kí hiệu là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

Một cơ hội giản dị, hình chóp cụt được tạo nên trở nên kể từ hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sau khoản thời gian hạn chế cút hình chóp $S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

+ Các nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ được gọi là nhị mặt mày lòng, những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là những mặt mày mặt mày. Các đoạn trực tiếp ${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{B}_{n}}$ được gọi là những cạnh mặt mày, những cạnh của mặt mày lòng được gọi là những cạnh lòng.

+ Khoảng cơ hội thân mật nhị mặt mày lòng được gọi là độ cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt với nhị lòng là những nhiều giác đều và chừng lâu năm những cạnh mặt mày cân nhau.

Thể tích của khối chóp cụt

Khi hạn chế khối chóp vì thế một phía bằng phẳng tuy vậy song với lòng thì mặt mày bằng phẳng cơ phân chia khối chóp tiếp tục mang đến trở nên nhị khối nhiều diện, khối bên trên là khối chóp và khối bên dưới được gọi là khối chóp cụt.

Thể tích của khối chóp cụt với diện tích S nhị lòng theo lần lượt là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ và độ cao vì thế $h$ (khoảng cơ hội thân mật nhị đáy) là \[V=\dfrac{h({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}})}{3}.\]

Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của khối nón cụt

Video bài bác giảng: Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem thêm Công thức tổng quát tháo tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống quánh biệt

Combo X Luyện đua 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lượng, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán (Luyện từng dạng bài bác kể từ cơ phiên bản cho tới 9 điểm)

XMAX: Luyện từng dạng bài bác áp dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kỹ năng và trị đề Dự kiến 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán

Các khoá học tập được dùng Tính từ lúc ngày đăng kí cho tới Lúc kì đua trung học phổ thông 2024 kết giục.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ với toàn bộ những cạnh vì thế $a.$ Gọi $M,\text{ }N$ theo lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt bằng phẳng $\left( {A}'MN \right)$ hạn chế cạnh $BC$ bên trên $P.$ Tính thể tích $V$ của khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N.$

Giải. Gọi $S$ là uỷ thác điểm của ${A}'M$ và $B{B}'$, Lúc cơ $P$ là uỷ thác điểm $SN$ và $BC.$Ta với $\dfrac{MP}{{A}'N}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BM}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta MBP$ đồng dạng với $\Delta {A}'{B}'N$ bám theo tỷ số vì thế $\dfrac{1}{2}.$

Khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N$ là khối chóp cụt với độ cao $h=B{B}'=a$ và diện tích S hoặc lòng là ${{S}_{1}}={{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8},{{S}_{2}}={{S}_{MBP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$

Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{a}{3}\left( \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}+\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Thể tích khối chóp cụt và phần mềm khoá PRO X.

Cách 2: Ta với $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}={{\left( \dfrac{SB}{S{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{8}$$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$

Ta với ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}$$=\dfrac{1}{3}S{B}'.\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{1}{6}2a.a.\dfrac{a}{2}\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Tỷ số Thể tích khoá PRO X.

Xem thêm: DOBIO AZ CHẾ PHẨM MEN VI SINH XỬ LÝ KHỬ LÀM SẠCH ĐÁY AO NUÔI TÔM CÁ

Ví dụ 2: Cho một chậu thau nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) với độ cao vì thế $3dm,$ lòng là lục giác đều, chừng lâu năm cạnh lòng rộng lớn vì thế $2dm$ và chừng lâu năm cạnh lòng nhỏ vì thế $1dm.$ Tính thể tích của chậu nước

Giải. Diện tích lòng của chậu vì thế ${{S}_{1}}=6\left( \dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=6\sqrt{3},{{S}_{2}}=6\left( \dfrac{{{1}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Chiều cao của chậu vì thế $h=3.$

Thể tích của chậu vì thế ${{V}_{0}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{3}{3}\left( 6\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \right)=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}d{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án A.

Note: Diện tích lục giác đều vội vã 6 thứ tự diện tích S tam giác đều phải sở hữu nằm trong chừng lâu năm cạnh.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ với lòng là tam giác đều cạnh $a,A{A}'=2a.$ Gọi $M,N$ theo lần lượt là trung điểm những cạnh $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt bằng phẳng $(MNG)$ hạn chế $CA,CB$ theo lần lượt bên trên $E,F.$ Thể tích của khối nhiều diện với sáu đỉnh $A,B,M,N,E,F$ bằng

Giải. Do $MN//(ABC)\Rightarrow (MNG)\cap (ABC)=EF//AB.$ Gọi $P$ là trung điểm $C{C}'.$ Ta với $MNP.EFC$ là 1 trong chóp cụt.

$\begin{gathered} {V_{ABNMEF}} = {V_{ABC.MNP}} - {V_{MNP.EFC}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{{CP}}{3}\left( {{S_{MNP}} + {S_{EFC}} + \sqrt {{S_{MNP}}{S_{EFC}}} } \right) \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right)\left( {2a} \right) - \dfrac{a}{3}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} } \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}. \\ \end{gathered} $

Trong cơ ${{S}_{MNP}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}};\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta CEF\backsim \Delta CAB$ tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{CEF}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}{{S}_{CAB}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}.$

Hoặc \[{{S}_{CEF}}=\dfrac{1}{2}CE.CF.\sin \widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.\] Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ hoàn toàn có thể tích vì thế $24$. Gọi $M\,,\ N$ và $P$ theo lần lượt là những điểm phía trên những cạnh ${A}'{B}'\,,\,\ {B}'{C}'$ và $BC$ sao mang đến $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$, ${B}'N=\dfrac{3}{4}{B}'{C}'$ và $BP=\dfrac{1}{4}BC.$ Đường trực tiếp $NP$ hạn chế đường thẳng liền mạch $B{B}'$ bên trên $E$ và đường thẳng liền mạch $EM$ hạn chế đường thẳng liền mạch $AB$ bên trên $Q.$ Thể tích của khối nhiều diện lồi $AQPC{A}'MN{C}'$ bằng

Giải. Đặt $S,h$ theo lần lượt là diện tích S lòng và độ cao của lăng trụ tiếp tục mang đến tao với $S.h=24$ và

${{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{BPQ.{B}'NM}}.$ Trong số đó $BPQ.{B}'NM$ là chóp cụt với độ cao $h.$

Ta với $\dfrac{EB}{E{B}'}=\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BQ}{{B}'M}=\dfrac{PQ}{NM}=\dfrac{1}{3}.$ Do cơ nhị tam giác $\Delta BPQ\backsim \Delta {B}'NM$ bám theo tỷ số $k=\dfrac{1}{3}.$

Suy rời khỏi ${{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{{B}'N}{{B}'{C}'}\times \dfrac{{B}'M}{{B}'{A}'}S=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S;{{S}_{BPQ}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{1}{24}S.$

Vì vậy ${{V}_{BPQ.{B}'NM}}=\dfrac{h}{3}\left( \dfrac{3}{8}S+\dfrac{1}{24}S+\sqrt{\dfrac{3}{8}S\times \dfrac{1}{24}S} \right)=\dfrac{13}{72}S.h=\dfrac{13}{72}\times 24=\dfrac{13}{3}\Rightarrow {{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}=24-\dfrac{13}{3}=\dfrac{59}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ với lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $C,AB=2a$ và góc tạo nên vì thế nhị mặt mày bằng phẳng $(AB{C}')$ và $(ABC)$ vì thế $60{}^\circ .$ Gọi $M,N$ theo lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC.$ Mặt bằng phẳng $(AMN)$ phân chia khối lăng trụ tiếp tục mang đến trở nên nhị khối nhiều diện. Khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn bằng

Giải. Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CC'\\ AB \bot CE \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CEC') \Rightarrow \widehat {C'EC} = \left( {(ABC'),(ABC)} \right) = {60^0} \Rightarrow CC' = CE\sqrt 3 = a\sqrt 3 .$

Vì $(ABC)//({A}'{B}'{C}')\Rightarrow (AMN)\cap ({A}'{B}'{C}')=MQ//AN.$

Khối nhiều diện $ANC.MQ{C}'$ hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn và tà tà khối chóp cụt với ${{S}_{1}}={{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}},{{S}_{2}}={{S}_{MQ{C}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{8}{{a}^{2}};h=C{C}'=\sqrt{3}a.$

Vì vậy ${{V}_{ANC.MQ{C}'}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$ Chọn đáp án A.
Xem thêm thắt Công thức tổng quát tháo tính nửa đường kính mặt mày cầu nước ngoài tiếp khối tứ diện và những tình huống quánh biệt

Câu căn vặn tự động luyện: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tính lâu năm cạnh vì thế $a.$ Mặt bằng phẳng chứa chấp đường thẳng liền mạch $C{D}'$ tạo nên với mặt mày bằng phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ góc $\alpha $ với $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ phân chia khối lập phương trở nên nhị khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}\text{ }\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right).$ Khi cơ ${{V}_{1}}$ bằng