Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân là gì?

Như tất cả chúng ta tiếp tục biết về định nghĩa và đặc thù của đàng trung tuyến vô một tam giác thông thường. Vậy đàng trung tuyến vô tam giác cân nặng với những đặc thù và điểm sáng quan trọng đặc biệt nào là không giống ngoài ra đặc thù vô tam giác thường? Bài viết lách sau đây tiếp tục cung ứng định nghĩa và một số trong những đặc thù quan trọng đặc biệt ê của đàng trung tuyến vô tam giác cân nặng, những em hãy theo dõi dõi nhé.


1. Khái niệm về đàng trung tuyến vô tam giác cân

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A (như hình dưới), đoạn trực tiếp AE nối đỉnh A với trung điểm E của cạnh BC được gọi là đàng trung tuyến (xuất trừng trị kể từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác cân nặng ABC.

Bạn đang xem: Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân là gì?

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-1
Đường trung tuyến vô tam giác cân nặng là gì?

2. Tính hóa học đàng trung tuyến vô tam giác cân

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A với phụ thân đàng trung tuyến AE, BF và CG. Khi ê tao với một số trong những đặc thù sau:

  1. Tam giác ABE và tam giác ACE là nhì tam giác vì như thế nhau;
  2. Số đo của nhì góc AEB và góc AEC đều bằng nhau và vì như thế 90 phỏng hoặc đàng trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC;
  3. Hai đàng trung tuyến BF và CG có tính nhiều năm đều bằng nhau.
khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-2
Tính hóa học phụ thân đàng trung tuyến vô tam giác cân

3. Cách minh chứng đàng trung tuyến vô tam giác cân

Chứng minh những đặc thù trên:

(1) Do AE là đàng trung tuyến của tam giác AMN nên tao có: BE = CE.

Lại với tam giác ABC cân nặng bên trên A nên tao được: AB = AC và góc ABE = góc ACE.

Xét tam giác ABE và tam giác ACE tao có:

+ AB = AC

+ BE = CE

+ AE cộng đồng.

Suy đi ra tam giác ABE và tam giác ACE là nhì tam giác đều bằng nhau (c.c.c).

(2) Do tam giác ABE và tam giác ACE là nhì tam giác đều bằng nhau theo dõi minh chứng bên trên.

Khi ê tao được: góc AEB = góc AEC.

(tính hóa học nhì góc kề bù).

Từ những điều bên trên tao suy ra: Số đo của nhì góc AEB và góc AEC đều bằng nhau và vì như thế 90 phỏng.

Do ê tao có: Đường trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC.

(3) Do BF và CG là hai tuyến phố trung tuyến của tam giác AMN nên tao có: AG = BG và AF = CF.

Suy đi ra AB = 2AG và AC = 2AF.

Lại với tam giác ABC cân nặng bên trên A nên tao được: AB = AC.

Khi ê tao được:  AB = AC = 2AG = 2AF hoặc AG = AF.

Xét tam giác AFB và tam giác AGC có:

+ AG = AF

+ Góc A chung

+ AB = AC

Do ê tam giác AFB và tam giác AGC là nhì tam giác đều bằng nhau (c.g.c).

Suy đi ra BF = GC.

Khi ê, tao được: Hai đàng trung tuyến BF và CG có tính nhiều năm đều bằng nhau.

4. Các dạng toán tương quan cho tới đàng trung tuyến vô tam giác cân

4.1. Dạng 1: Bài toán triệu chứng minh

*Phương pháp giải:

Dựa vô điểm sáng và những đặc thù của đàng trung tuyến vô tam giác cân nặng tiếp tục nêu phía trên, tao vận dụng nó vào nhằm minh chứng những điều tuy nhiên việc đòi hỏi minh chứng.

Ví dụ 1. Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M với phụ thân đàng trung tuyến MR, NS và PT rời nhau bên trên trọng tâm O.

Chứng minh rằng: PO = NO.

Lời giải

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-3

Theo minh chứng đặc thù (3) tao có: PT = NS  (*).

Áp dụng đặc thù phụ thân đàng trung tuyến vô tam giác tao có:

                    PO = PT và NO = NS                   (**).

Từ (*) và (**), tao suy đi ra PO = NO.

4.2. Dạng 2: Tính phỏng nhiều năm đàng trung tuyến

*Phương pháp giải:

Dựa theo dõi fake thiết đề bài bác đã mang đi ra, tao vận dụng tấp tểnh lý Pi – tao – go vô tam giác vuông nhằm đo lường phỏng nhiều năm đàng trung tuyến.

Ví dụ 2. Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M với đàng trung tuyến kẻ kể từ đỉnh M là MR. sành phỏng nhiều năm những cạnh sau: MN = MP = 5 centimet và PN = 8 centimet. Hãy dò thám phỏng nhiều năm đoạn trực tiếp MR.

Lời giải

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-4

Do R là trung điểm của cạnh PN nên tao có: PN = 2PR = 8 centimet.

Suy đi ra quảng cáo = 4 centimet.

Lại với , nên suy đi ra tam giác MRP vuông bên trên R.

Trong tam giác MRP vuông bên trên R có:

Xem thêm: [GIẢI ĐÁP] Tuổi Quý Dậu 1993 xây nhà năm 2023 có tốt không?

MR2 + PR2 = MP2 (định lý Pi – tao – go)

Suy đi ra MR2 = MP2 – PR2.

Theo fake thiết tao với MP = 5 centimet, Khi ê tao có:

MR2 = 52 – 42 = 9.

Do ê, tao được MR = 3 centimet.

5. Một số bài bác luyện vận dụng đặc thù đàng trung tuyến vô tam giác cân

Bài 1. Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M với phụ thân đàng trung tuyến MR, NS và PT rời nhau bên trên trọng tâm O. Trong những đáp án sau đây hãy chỉ ra rằng đáp án SAI:

  1. MS = MT
  2. SN = TP
  3. SN = 2SO
  4. PN = 2PR
ĐÁP ÁN

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-3

Ta có:

+ Vì S và T theo lần lượt là trung điểm của MP và MN, nên tao được MS = PS và MT = NT.

Lại có: MP = MN (tam giác MNP cân nặng bên trên M)

Suy đi ra MS = MT.

+ SN = TP (theo minh chứng đặc thù 3).

+ PN = 2PR, vì như thế R là trung điểm của PN.

Chọn đáp án C.

Bài 2. Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M với đàng trung tuyến MR. sành số đo của góc MNP vì như thế 60 phỏng. Hãy cho biết thêm số đo góc PMR.

  1. 20 độ
  2. 30 độ
  3. 45 độ
  4. 60 độ
ĐÁP ÁN

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-5

Ta với tam giác MPR vì như thế tam giác MNR (theo minh chứng đặc thù 1).

Suy ra: góc PMR = góc NMR    (1).

Trong tam giác MNR vuông bên trên R có: .

Theo fake thiết với số đo của góc MNP vì như thế 60 phỏng, nên tao được:

(2).

Từ (1) và (2), suy đi ra số đo góc PMR là 30 phỏng.

Chọn đáp án B.

Bài 3. Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M với phụ thân đàng trung tuyến MR, NS và PT rời nhau bên trên trọng tâm O.

Chứng minh rằng: SO = TO và tam giác OPN cân nặng bên trên O.

ĐÁP ÁN

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-3

Ta với SO + ON = SN và TO + OP = TP.

Do OP = ON (theo minh chứng của Ví dụ 1) và

SN = TP (chứng minh đặc thù 3).

Từ ê tao được SO = TO.

Vì OP = ON (theo minh chứng của Ví dụ 1), tao suy đi ra tam giác OPN cân nặng bên trên O.

Bài 4. Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M với phụ thân đàng trung tuyến MR, NS và PT rời nhau bên trên trọng tâm O. sành phỏng nhiều năm những cạnh sau: MR = 12 centimet và PN = 6 centimet. Hãy tính phỏng nhiều năm đoạn trực tiếp PT và NS.

ĐÁP ÁN

khai-niem-va-cac-tinh-chat-ve-duong-trung-tuyen-trong-tam-giac-can-3

Do R là trung điểm của cạnh PN nên tao có: PN = 2PR = 6 centimet.

Suy đi ra quảng cáo = 3 centimet.

Vì điểm O là trọng tâm của tam giác MNP, nên tao có:

OR = MR = . 12 = 4 (cm).

Trong tam giác PRO vuông bên trên R có:

OR2 + PR2 = PO2 (định lý Pi – tao – go).

Suy đi ra PO2 = 42 + 32 = 25 hoặc PO = 5 centimet.

Lại với điểm O là trọng tâm của tam giác MNP, nên PO = PT.

Suy đi ra PT = PO = . 5 = (cm).

Xem thêm: Cờ để bàn Việt Nam Ấn Độ - Cssx Thành Công - 09419 00000 ...

Vậy PT = NS = centimet.

Bài viết lách bên trên tiếp tục cung ứng một số trong những điểm sáng cùng theo với định nghĩa và những đặc thù của đàng trung tuyến vô tam giác cân nặng, hòng phụ thuộc vào ê những em hoàn toàn có thể triển khai xong thông thạo những bài bác luyện tương quan cho tới phần kỹ năng và kiến thức này.


Chịu trách móc nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang