Lý thuyết bất đẳng thức | SGK Toán lớp 10

1. Bất đẳng thức

Là một mệnh đề có một trong những dạng \(A > B, A < B, A \ge B, A\le  B\), nhập ê \(A, B\) là những biểu thức chứa chấp những số và những phép tắc toán.

Bạn đang xem: Lý thuyết bất đẳng thức | SGK Toán lớp 10

Biểu thức \(A\) được gọi là vế ngược, \(B\) là vế cần của bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề: \("A < B => C < D"\) là mệnh đề đích thị thì tao thưa bất đẳng thức \(C < D\) là hệ ngược của bất đẳng thức \(A < B\).

Nếu \("A < B => C < D"\) và \("C < D ⇒ A < B"\) là mệnh đề đích thị thì tao thưa nhị bất đẳng thức \(A < B\) và \(C < D\) tương tự, kí hiệu là \(A < B ⇔ C < D\).

2. Các đặc điểm của bất đẳng thức.

TC1. ( Tính hóa học bắc cầu)

\(\left\{ \matrix{
A < B \hfill \cr
B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\)

TC2. (Quy tắc cộng): \(A < B ⇔ A + C < B + C\)

TC3. (Quy tắc nằm trong nhị bất đẳng thức người sử dụng chiều)

\(\left\{ \matrix{
A < B \hfill \cr
C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\)

TC4. (Quy tắc nhân)

\(\left\{ \matrix{
A < B \hfill \cr
C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\)

\(\left\{ \matrix{
A < B \hfill \cr 
C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\)

TC5. (Quy tắc nhân nhị bất đẳng thức)

\(\left\{ \matrix{
0 < A < B \hfill \cr
0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\)

TC6. (Quy tắc lũy quá, khai căn)

Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có:

\( A < B  \Leftrightarrow  A^n< B^n\)

\(A < B \Leftrightarrow \root n \of A  < \root n \of B \).

3. Bất đẳng thức thân thích khoảng nằm trong và khoảng nhân (Bất đẳng thức Côsi)

Xem thêm: Tháng 12 cung gì? Giải mã tính cách, tính yêu và sự nghiệp

Ta gọi \({{a + b} \over 2}\) là khoảng nằm trong của nhị số \(a, b\).

Tổng quát lác khoảng nằm trong của n số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) là \({{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\)

Trung bình nhân của nhị số ko âm \(a ≥ 0, b ≥ 0\) là \(\sqrt {ab} \)

Trung bình nhân của n số ko âm \({a_1} \ge 0,{a_2} \ge 0,...,{a_n} \ge 0\) là

\(\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \)

Định lí: Ta với bất đẳng thức sau đây, có tên bất đẳng Cô si:

\(\sqrt {ab}  \le {{a + b} \over 2}\)     \(∀a, b ≥ 0\).

Dấu \("="\) chỉ xẩy ra Khi \(a = b\).

Người tao cũng có:

\(\root 3 \of {abc}  \le {{a + b + c} \over 3}\)    \(∀a, b, c ≥ 0\).

\(\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}}  \le {{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\)   \(∀ {a_1},{a_2},...,{a_n} \ge 0\)

Hệ ngược 1. Nếu nhị số dương với tổng ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc nhị số cân nhau.

Hệ ngược 2. Nếu nhị số dương với tích ko thay đổi thì tổng của bọn chúng nhỏ nhất lúc nhị số cân nhau.

4. Bất đẳng thức chứa chấp vệt độ quý hiếm vô cùng.

Ta với những bất đẳng thức sau:

\(\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)     \(∀a, b ∈\mathbb R\)

Dấu \("="\) chỉ xẩy ra Khi \(ab\ge 0 \)

Xem thêm: Đặc điểm tính cách về người thuộc cung hoàng đạo Cự Giải

\(|x| ≤ a  \Leftrightarrow  - a ≤ x ≤ a\)     \(∀a > 0\)

\(|x| ≥ a \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{x \ge a} \cr {x \le - a} \cr} } \right.\forall a > 0.\)

Loigiaihay.com