Phương pháp và bài tập tính nguyên hàm từng phần

T. LÝ THUYẾT

1. Định lý.

Bạn đang xem: Phương pháp và bài tập tính nguyên hàm từng phần

Nếu u = (x) và v = v(x) là 2 hàm số đem đạo hàm liên tiếp bên trên đoạn K thì:

\(\int u(x)v'(x)dx=u(x).v(x)-u(x)\int v(x)dx\)

Viết gọn gàng lại: \(\int udv=u.v-v\int du\)

2. Một số dạng tính vẹn toàn hàm từng phân.

Dạng 1: \(I = \int {f\left( x \right)\sin xdx} \) hoặc \(I = \int {f\left( x \right)\cos xdx} \), vô bại f(x) là nhiều thức.

Phương pháp: Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=f(x) & \\ dv=sinxdx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=f'(x)dx & \\ v=\int sinxdx& \end{matrix}\right.\)

Dạng 2: \(I=\int f(x).e^{x}dx\) , vô bại f(x) là một trong nhiều thức.

Phương pháp: Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=f(x) & \\ dv=e^{x}dx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=f'(x)dx & \\ v=\int e^{x}dx& \end{matrix}\right.\)

Dạng 3: \(I = \int {f\left( x \right)\ln xdx} \) hoặc \(I = \int {f\left( x \right){{\log }_a}xdx} \), vô bại f(x) là một trong nhiều thức.

Phương pháp: Đặt: \(\left\{\begin{matrix} u=lnx & \\ dv=f(x)dx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{x} dx& \\ v=\int f(x) dx& \end{matrix}\right.\)

3. Một số chú ý:

Khi gặp gỡ lượng giác và nón tớ hoàn toàn có thể bịa “u→dv” theo gót trật tự “lượng giác → mũ” hoặc ngược lại đều được và cần dùng nhì phiên tích phân từng phần. Cả nhì phiên tích phân từng phần vô tình huống này
phải thống nhất theo gót nằm trong trật tự. Nếu ko tiếp tục xẩy ra hiện tượng kỳ lạ I = I.
+) Khi dùng cách thức tích phân từng phần thì số phiên tiến hành tùy thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:
*) Nếu vô biểu thức tích phân đem \(log_{n}^{a} f(x) ; ln^{n}f(x)\) thì phải tích phân từng phần n phiên.
*) Nếu vô biểu thức tích phân đem nhiều thức bậc n: (không đem hàm logarit) ==> thì cũng cần tích phân từng phần phiên.