Tổng hợp lý thuyết cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau toán lớp 12

Cách tính khoảng cách đằm thắm hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau

Đường vuông góc cộng đồng và đoạn vuông góc cộng đồng hai tuyến đường chéo cánh nhau.

- Đường thẳng  $\Delta $ tách hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau a, b và nằm trong vuông góc với từng đường thẳng liền mạch ấy được gọi là đàng vuông góc cộng đồng của a và b.

- Đường trực tiếp vuông góc cộng đồng $\Delta $ tách hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau a và b lần lượt tại M và N thì phỏng nhiều năm đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách đằm thắm hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau a và b.

Bạn đang xem: Tổng hợp lý thuyết cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau toán lớp 12

Cách xác lập đoạn vuông góc cộng đồng của 2 đàng chéo cánh nhau.

Cho 2 đường thẳng liền mạch chéo cánh nhau  a và b. Gọi $\left( \beta  \right)$ là mặt mũi bằng phẳng chứa b và tuy nhiên song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên $\Rightarrow CD\bot (SHC)\Rightarrow \overset\frown{SCH}={{60}^{\circ }}$.

Vì $a//\left( \beta  \right)$ nên $a//a'$. Gọi $N=a'\cap b$ và $\left( \alpha  \right)$ là mặt mũi bằng phẳng chứa a và a’. Dựng đường thẳng liền mạch $\Delta $ qua N và vuông góc cộng đồng và MN là đoạn vuông góc cộng đồng của a và b.

Nhận xét:

- Khoảng cơ hội đằm thắm hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau bởi khoảng cách đằm thắm một trong những hai tuyến đường trực tiếp tê liệt cho tới mặt mũi bằng phẳng tuy nhiên song với nó và chứa chấp đường thẳng liền mạch còn lại

- Khoảng cơ hội đằm thắm hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau bởi khoảng cách đằm thắm nhị mặt mũi bằng phẳng tuy nhiên song với nó và chứa chấp đường thẳng liền mạch còn sót lại.

Phương pháp Khoảng cơ hội đằm thắm hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau và vuông góc cùng nhau.

Phương pháp giải: Dựng đàng vuông góc cộng đồng. Khảo sát khối chóp đỉnh S có đàng cao SH, đòi hỏi tính khoảng cách đằm thắm 2 đàng chéo cánh nhau d (thuộc mặt mũi đáy) và đàng thẳng SC thuộc mặt mũi khối chóp nhập tình huống $d\bot SC$.

Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt mũi bằng phẳng lòng là HC

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}  {} SC\bot d \\  {} SH\bot d \\ \end{array} \right.\Rightarrow d\bot \left( SHC \right)$

Gọi $M=d\cap HC$, dựng $MK\bot SC$ khi tê liệt MK là đoạn vuông góc cộng đồng của AC và SC

Cách tính: Dựng $HE\bot SC$ khi tê liệt $\frac{MK}{HE}=\frac{MC}{HC}\Rightarrow MK=\frac{MC}{HC}.HE$

Xét tam giác vuông SHC tao có: $\frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}\Rightarrow HE=MK=d\left( d;SC \right)$ 

 Bài thói quen khoảng cách đằm thắm 2 đàng thăng vuông góc cùng nhau và chéo cánh nhau

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $AC=a\sqrt{2}$. Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ và SC tạo ra với lòng góc $60{}^\circ $ nên $\widehat{SCA}=60{}^\circ $

Khi tê liệt $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$

Do $\left\{ \begin{array}  {} AB\bot AD \\  {} AB\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot (SAD)$

Dựng $AH\bot SD$ suy đi ra AH là đoạn vuông góc cộng đồng của AB và SD

Ta có: $\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

b) Ta có: $BD\bot SC$ bên trên O và $BD\bot SA$$\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)$

Dựng $OK\bot SC$$\Rightarrow OK\bot BD$ nên OK là đoạn vuông góc cộng đồng của BD và SC

Do tê liệt $d\left( BD;SC \right)=OK=OC\sin \widehat{OCK}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Bài luyện 2: Cho hình chóp S.ABC có lòng là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt mũi lòng là trung điểm CI. Biết độ cao của khối chóp là $h=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách d đằm thắm đàng thẳng AB và SC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} CI\bot AB \\  {} SH\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot (SIC)$

Dựng $IF\bot SC$ khi tê liệt IF là đoạn vuông góc cộng đồng của AB và SC. Dựng $HE\bot SC$ tao có: $HE=\frac{1}{2}IF$

Lại với $CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Khi tê liệt $HE=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{51}}{17}\Rightarrow IF=\frac{2a\sqrt{51}}{17}$

Xem thêm: Xe đạp điện 5 triệu | 8 mẫu hot nhất thị trường 2023

Lời giải chi tiết

a) Do:$\left\{ \begin{array}  {} BC\bot AB \\  {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow BC$ là đoạn vuông góc cộng đồng của SB và CD.

Ta có: $d\left( SB;CD \right)=BC=a$

c) Mặt không giống $BC\bot \left( SAB \right)$

Do tê liệt $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $

Suy đi ra $SA=AB\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta với $\left\{ \begin{array}  {} BD\bot AC \\  {} BD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot (SAC)$

Dựng $OM\bot SC$ khi đó OM là đàng vuông góc cộng đồng của BD và SC

Ta với $\Delta CAS\sim \Delta CMO\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{SC}{CO}=\frac{SA}{MO}\Rightarrow OM=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{10}$

Cách 2: Dựng $AN\bot SC\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AN$. Mặt không giống $\frac{1}{A{{N}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{30}}{5}$

Khi tê liệt $d=OM=\frac{1}{2}AN=\frac{a\sqrt{30}}{10}$

Bài tập 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt mũi bằng phẳng vuông góc với lòng. Tính khoảng tầm cách d giữa 2 đàng thẳng SA và BC.

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của BC khi tê liệt $SH\bot BC$

Mặt không giống $(SBC)\bot (ABC)$ vì thế $SH\bot (ABC)$

Ta có: $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}};AH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Do $\left\{ \begin{array}  {} BC\bot AH \\  {} BC\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SHA)$. Dựng $HK\bot SA$ khi đó

HK là đoạn vuông góc cộng đồng của BC và SA.

Lại có: $HK=\frac{SH.AH}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có lòng là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt mũi bằng phẳng lòng trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt mũi phẳng (ABB’A’) tạo với mặt mũi phẳng (ABC) một góc 60°. Tính khoảng cách đằm thắm 2 đàng thẳng AB và B’C.

Lời giải chi tiết

Dựng $CI\bot AB\Rightarrow I$ là trung điểm của AB.

Ta có: $(B'GI)\bot AB\Rightarrow \overset\frown{B'IG}={{60}^{\circ }}$

Lại có: $CI=\frac{1}{2}AB=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow GI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow B'G=GI\tan {{60}^{\circ }}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Dựng $IH\bot B'C\Rightarrow d(AB;B'C)=IH=\frac{B'G.CI}{B'C}$

Xem thêm: Đặc điểm tính cách về người thuộc cung hoàng đạo Cự Giải

Ta có: $B'C=\sqrt{B'{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{42}}{14}$

Do tê liệt $d(AB;B'C)=IH=\frac{3a\sqrt{42}}{14}$

Hoặc dựng : $GK//IH\Rightarrow IH=\frac{3}{2}GK=\frac{3}{2}.\frac{B'G.GC}{\sqrt{B'{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}}$