2 cách giải phương trình bậc bốn và bài tập ví dụ

Vâng, sau khoản thời gian tìm ra cơ hội giải phương trình bậc phụ thân thì những mái ấm Toán học tập vẫn nối tiếp phân tích và mò mẫm rời khỏi cơ hội giải phương trình bậc tứ.

Cụ thể là vô thân thích thế kỉ loại XVI thì mái ấm Toán học tập tài phụ thân người Italia (Luđovicô Ferari) vẫn mò mẫm rời khỏi cơ hội giải tổng quát tháo mang lại phương trình bậc tứ.

Bạn đang xem: 2 cách giải phương trình bậc bốn và bài tập ví dụ

Hôm ni tất cả chúng ta tiếp tục bên cạnh nhau ôn lại cơ hội giải một vài lớp phương trình bậc tứ thông thường bắt gặp và mò mẫm hiểu thêm thắt cơ hội giải phương trình bậc 4 sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X, tương đương khí cụ trực tuyến Wolfram Alpha.

I. Phương trình bậc tứ là gì?

Phương trình bậc tứ sở hữu dạng $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ với $a, b, c, d, e$ là những số thực bất kì, $a$ không giống $0$

Ví dụ. $x^4-18x^3+123x^2-378x+440=0$, $x^4-14x^3+71x^2-154x+117=0$, $-3x^4-2x^3+5x^2-2x-3=0$ là những phương trình bậc tứ.

II. Một số kỹ năng cần thiết ghi nhớ

• Nếu $a+b+c+d+e=0$ thì phương trình sở hữu nghiệm là $1$
• Nếu $a-b+c-d+e=0$ thì phương trình sở hữu nghiệm là $-1$
• Nếu phương trình sở hữu nghiệm nguyên vẹn thì chỉ rất có thể là 1 trong trong số ước của $e$
• Nếu phương trình sở hữu nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ thì $p, q$ theo lần lượt theo dõi trật tự là những ước của $e$ và $a$
• Phương trình bậc tứ sở hữu tối nhiều tứ nghiệm

III.  Một số dạng quan trọng thông thường gặp

#1. Phương trình trùng phương

Phương trình bậc tứ sở hữu dạng $ax^4+bx^2+c=0$ được gọi là phương trình trùng phương.

#2. Phương trình bậc tứ dạng $(x+a)^4+(x+b)^4=c$

Phương trình $(x+a)^4+(x+b)^4=c$ rất có thể gửi về phương trình trùng phương bằng phương pháp đặt điều ẩn phụ $y=x+\frac{a+b}{2}$

#3. Phương trình bậc tứ dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m$ với $a+b=c+d$

Phương trình $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m$ với $a+b=c+d$ tương tự với $[x^2+(a+b)x+ab][x^2+(c+d)x+cd]=m$

Đặt $t=x^2+(a+b)x+ab$ tất cả chúng ta tiếp tục gửi được phương trình vẫn mang lại trở nên phương trình bậc nhị với ẩn $t$

#4. Phương trình đối xứng bậc bốn

Phương trình đối xứng bậc tứ là phương trình sở hữu dạng $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$

Bước 1. Kiểm tra $x=0$ sở hữu là nghiệm của phương trình hoặc không?

Bước 2. Nếu $x=0$ ko là nghiệm của phương trình thì phân chia nhị vế của phương trình mang lại $x^2$

$ax^{2}+b x+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow a\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$

Đặt $t=x+\frac{1}{x} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$, ĐK $|t| \geq 2$

Lúc này phương trình $a\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$ trở nên $a(t^{2}-2)+bt+c=0$

IV. Bài luyện ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $(x-5)^4+(x-4)^4=1$

Cách 1. Đặt $y=x+\frac{(-5)+(-4)}{2}$

Đặt $y=x-\frac{9}{2}$ suy rời khỏi $x=y+\frac{9}{2}$

Phương trình trở nên $\left(y+\frac{9}{2}-5\right)^4+\left(y+\frac{9}{2}-4\right)^4-1=0$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow \left(y-\frac{1}{2}\right)^4+\left(y+\frac{1}{2}\right)^4-1=0 \Leftrightarrow 2y^4+3y^2-\frac{7}{8}=0$ $(**)$

Đặt $t=y^2$, ĐK $t \geq 0$

Phương trình $(**)$ trở nên $2t^2+3t-\frac{7}{8}=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=\frac{1}{4}\\ t=-\frac{7}{4}\end{array}\right. \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}$

Với $t=\frac{1}{4}$ tớ được phương trình $\frac{1}{4}=y^2 \Leftrightarrow y^2-\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

• Với $y=\frac{1}{2}$ tớ được phương trình $x=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=5$
• Với $y=-\frac{1}{2}$ tớ được phương trình $x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=4$

Vậy luyện nghiệm của phương trình vẫn cho rằng $\{5, 4\}$

Cách 2. Tìm nghiệm nguyên

$(x-5)^4+(x-4)^4=1$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow 2x^4-36x^3+246x^2-756x+880=0 \Leftrightarrow x^4-18x^3+123x^2-378x+440=0$

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 11, \pm đôi mươi, \pm 22, \pm 40, \pm 44, \pm 55, \pm 88, \pm 110, \pm 220, \pm 440$ là những ước của $440$

Lần lượt thay cho những ước bên trên vô vế ngược của phương trình, ước này thực hiện mang lại vế ngược bởi vì $0$ thì tê liệt đó là nghiệm

$(1-5)^4+(1-4)^4 \neq 1$

$(2-5)^4+(2-4)^4 \neq 1$

$(4-5)^4+(4-4)^4=1$

$(5-5)^4+(5-4)^4=1$

Vì $4, 5$ là nghiệm của phương trình nên $(*) \Leftrightarrow (x-4)(x-5)(x^2-9x+22)=0$

Dễ thấy $(x^2-9x+22)=\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0$

Vậy luyện nghiệm của phương trình vẫn cho rằng $\{5, 4\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=3$

Xem thêm: OPPO Reno8 Pro 5G Chính Hãng Trôi Bảo Hành Giá Rẻ, Trả Góp 0%

Lời giải:

Phương trình $(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=3 \Leftrightarrow (x-5)(x-2)(x-4)(x-3)=3$ $(*)$

Phương trình $(*)$ sở hữu $(-5)+(-2)=(-4)+(-3)$

$(*) \Leftrightarrow (x^2-7x+10)(x^2-7x+12)=3$ $(**)$

Đặt $t=x^2-7x+10$ phương trình $(**)$ trở nên $(t)(t+2)=3 \Leftrightarrow t^2+2t-3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=1 \\ t=-3\end{array}\right.$

Với $t=1$ tớ được phương trình $1=x^2-7x+10 \Leftrightarrow x^2-7x+9=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{7+\sqrt{13}}{2} \\ x=\frac{7-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$

Với $t=-3$ tớ được phương trình $-3=x^2-7x+10 \Leftrightarrow x^2-7x+13=0$

Vì $x^2-7x+13=(x-\frac{7}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên phương trình vô nghiệm

Vậy luyện nghiệm của phương trình vẫn cho rằng $\left\{\frac{7+\sqrt{13}}{2}, \frac{7-\sqrt{13}}{2}\right\}$

Ví dụ 3. Giải phương trình $-3x^4-2x^3+5x^2-2x-3=0$

Lời giải:

Dễ thấy $x=0$ ko là nghiệm của phương trình.

Chia nhị về của phương trình mang lại $x^2$ tớ được $-3x^2-\frac{3}{x^2}-2x-\frac{2}{x}+5=0 \Leftrightarrow -3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0~(*)$

Đặt $t=x+\frac{1}{x} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$, ĐK $|t| \geq 2$

Lúc bấy giờ phương trình $(*)$ trở nên $-3(t^2-2)-2(t)+5=0 \Leftrightarrow -3t^2-2t+11=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=\frac{-1+\sqrt{34}}{3} \\ t=\frac{-1-\sqrt{34}}{3}\end{array}\right.$

$t=\frac{-1+\sqrt{34}}{3}$ bị loại bỏ vì thế ko thỏa mãn nhu cầu ĐK $|t| \geq 2$

Với $\frac{-1-\sqrt{34}}{3}$ tớ được phương trình $\frac{-1-\sqrt{34}}{3}=x+\frac{1}{x}$ $(**)$

$(**) \Leftrightarrow x+ \frac{1}{x}-\left(\frac{-1-\sqrt{34}}{3}\right)=0 \Leftrightarrow x^2+1-\left(\frac{-1-\sqrt{34}}{3}\right)x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{1}{6}\left(-1-\sqrt{34}-\sqrt{2\sqrt{34}-1}\right) \\ x=\frac{1}{6}\left(-1-\sqrt{34}+\sqrt{2\sqrt{34}-1}\right)\end{array}\right.$

V. Giải sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X

Ở phía trên bản thân tiếp tục giải phương trình $x^4-18x^3+123x^2-378x+440=0$ bên trên PC CASIO fx-580VN X

Bước 1. Lần lượt nhấn những phím

nhằm lựa chọn phương trình bậc 4.

Bước 2. Lần lượt nhấn những phím

 để nhập những thông số $1, -18,  123, -378, 440$

Bước 3. Nhấn phím

 để coi kết quả

Chú ý:
Nghiệm $x_3$ và $x_4$ là nghiệm phức, nếu như khách hàng là học viên lớp 11 trở xuống thì vẫn tóm lại luyện nghiệm của phương trình vẫn cho rằng $\{5, 4\}$

VI. Giải bởi vì khí cụ trực tuyến Wolfram Alpha

Ở phía trên bản thân tiếp tục giải phương trình $x^4-14x^3+71x^2-154x+117=0$ bên trên PC trải qua trình duyệt Google Chrome.

Bước 1. Truy cập vô trang chủ của công ty trực tuyến Wolfram Alpha theo dõi địa điểm https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập mệnh lệnh solve x^4-14x^3+71x^2-154x+117=0

Bước 3. Nhấn phím Enter bên trên keyboard nhằm coi kết quả:

Vậy luyện nghiệm của phương trình vẫn cho rằng $\left\{\frac{7+\sqrt{13}}{2}, \frac{7-\sqrt{13}}{2}\right\}$

VII. Lời kết

Trong thực hành thực tế, Lúc được yêu thương cầu giải phương trình bậc bốn ngẫu nhiên thì bản thân tiếp tục tiến hành theo lần lượt công việc bên dưới … (nếu ở Bước $n$ vẫn giải được phương trình thì ko cần thiết tiến hành Bước $n+1$ nữa nha những bạn).

• Bước 1. Quan sát coi phương trình sở hữu rớt vào những dạng quan trọng hay là không, nếu như vận dụng cách thức ứng nhằm giải.
• Bước 2. Kiểm tra coi phương trình sở hữu nghiệm nguyên vẹn hoặc nguyên vẹn hữu tỉ hay là không, nếu như sở hữu thì tổ chức phân chia sơ đồ vật Hoocne nhằm mò mẫm phương trình bậc phụ thân, bậc nhị.
• Bước 3. tập trung cố gắng phân tách phương trình vẫn mang lại trở nên phương trình tích
• Bước 4. gí dụng thuật giải tổng quát tháo của Italia Luđovicô Ferari

Hi vọng là nội dung bài viết này tiếp tục hữu ích với các bạn. Xin Chào thân ái và hứa hẹn hội ngộ chúng ta trong mỗi nội dung bài viết tiếp theo sau !

Xem thêm: Cây thồm lồm - loại cây mọc hoang nhưng có nhiều công dụng chữa bệnh

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn